Total steps: 5 Step 1: 明确“串”“子串”“真子串”等基本概念和本题要求 Step 2: 分析串 S="software" 的长度，并抽象为长度为 n 的一般情况 Step 3: 推导长度为 n 的串的全部子串个数公式，并代入 n=8 计算 Step 4: 结合“真子串”排除不符合条件的子串，得到真子串个数 Step 5: 将结果与给定选项对比，锁定正确答案并简单解释错误选项原因

我们先不用急着算“software”的子串数量，先想一个更简单的例子：如果有一个很短的串 S="ab"，你能列举出 S 的所有“连续的片段”吗？比如从第一个字符开始、从第二个字符开始，各能得到哪些片段？试着把它们都写出来，然后我们再一起看看哪些可以叫做“子串”。

你刚才只写了“a, b”，其实在串 "ab" 中，还有一种“连续的片段”是从第一个字符开始，一直取到第二个字符的，这个片段你漏掉了吗？请你再想想：把 "ab" 从第1个字符开始、从第2个字符开始，所有可能得到的连续片段都列出来，看能写出哪些。

现在我们已经用 "ab" 这个例子列出了它的所有“连续片段” a、b、ab。你觉得在这些片段里面，原串 "ab" 自己也可以算作它的“子串”吗？如果把“子串”理解成“在原串中连续出现的一段”，你觉得原串本身符不符合这个描述？为什么？

你已经用 "ab" 的例子体会到“子串”可以包括原串本身，那我们再往前想一步：如果还是串 S="ab"，在刚才这些子串里（a, b, ab），哪些你觉得是“真子串”，哪些不是？你可以先说说你直觉上认为“真子串”和“子串”相比，多了一个什么限制条件？

你刚才提到“不太清楚”真子串和子串的区别，我们换个小例子来感受一下：对于串 S="abc"，我们把它的所有子串都列出来，会有 a、b、c、ab、bc、abc。现在请你想一想：如果有人说“真子串”是在这些子串里再加一个“不能等于原串 S”的限制，你觉得在 a、b、c、ab、bc、abc 这些里面，哪一些会因为这个限制被排除掉？这样想一想，再用你自己的话说说“真子串”相比“子串”多了什么要求？

你已经能区分“子串”和“真子串”了，我们再把视角拉回到这道题本身：题目给出的 S="software"，这里的“串”在这道题里指的是什么对象？是某种数学上的集合，还是一串按先后顺序排成的字符序列？你可以先用自己的话描述一下，在这道题的语境下，“串 S=software”到底是在说一个什么样的东西。

你已经知道：在这道题里，“串”就是按先后顺序排成的一串字符，比如 "soft"、"software"。那现在我们来对比一下“子串”和“子序列”：如果我从 "software" 中取出 "sft"，这三个字符虽然按原来的先后顺序排列，但中间有字符被跳过了，你觉得 "sft" 能不能算是 "software" 的“子串”？为什么？请你对比一下 "sof" 和 "sft" 这两种情况来思考。

很好，你已经抓住了“串”“子串”“真子串”的核心直觉：串是有先后顺序的字符序列，子串必须是连续的一段，真子串就是子串里再排除掉“整个原串”这一种。现在把这些放回题目里想一想：在“若串 S=software，其真子串的个数是()”这句话中，题目到底在让你数哪一类东西？你需要先数出 S 的什么，再从中去掉哪一部分，才是在数“真子串的个数”？试着用一两句话把这个“先做什么，再做什么”的过程描述出来。

刚才你已经用自己的话说出：“先数出所有子串，再把原串本身那一个去掉，就是在数真子串”。现在我们停下来回想一下：在这个过程中，“串、子串、真子串”这三个对象之间，是一种什么包含关系？比如，你能不能用一种“层层筛选”的说法来描述：先有“串”，从中得到“子串”，再从“子串”中筛出“真子串”？试着用一两句话，把这三者之间的关系连成一个完整的、通顺的小描述。

你已经把“串、子串、真子串”和本题的要求都串联得很清楚了：知道串是有顺序的字符序列，子串是其中连续的一段，真子串是在所有子串里再排除掉原串本身这一种，而且题目就是“先数所有子串，再去掉原串”。这一点你已经掌握得很好，接下来我们就可以用这些理解正式去数一数 "software" 的真子串了。

串 S = "software" 是由一个个字符依次排成的序列，你能不重不漏地数一数，它一共有多少个字符吗？数完后，再想一想：如果把 "software" 看成“长度为 n 的串”，这里的 n 应该是多少？

对的，"software" 一共有 8 个字符，我们可以把它抽象成“长度为 n 的串”，这里的 n=8，你已经很好地完成了这一步，为后面讨论一般长度为 n 的串的子串个数打下了基础，继续保持这种严谨数一数、再抽象的习惯，会很有帮助。

我们先不急着写公式，来数一数：如果有一个长度为 n 的串，从第 1 个字符开始，你能取出哪些不同长度的子串？从第 1 个字符开头，一共可以取出多少个子串？再想想：如果从第 2 个字符开头呢，会有多少个？你先用 n 来表示一下“从第 i 个字符开始能取出的子串个数”是什么样子的。

好，我们就先用一个具体例子来帮你看出规律：假设有一个长度为 5 的串 S = abcde。你从第 1 个字符 a 开始，可以取出哪些子串？（提示：从长度为 1 的“a”开始一直取到“abcde”）你把它们一个个列出来数一数，从第 1 个字符开头一共是多少个？

很好，你已经看出从第 1 个字符开头一共有 5 个子串了。那我们还用这个长度为 5 的串 S=abcde 来想一想：如果这次从第 2 个字符 b 开始，你能列出有哪些子串？（同样从长度为 1 的 “b” 一直到以 e 结尾）你数一数从第 2 个字符开头一共有多少个子串，再想想从第 3 个字符开头大概会是多少个？试着先把这两个位置的情况都写出来看看规律。

很好，你已经知道从第 i 个字符开头有 n−i+1 个子串。现在把所有可能的起始位置从 i=1 一直数到 i=n，每个起始位置对应的子串个数你都能写出来吗？先用加法把它们连起来，比如像“(从第1个开始的个数)+(从第2个开始的个数)+…+(从第n个开始的个数)”，你试着写出这个求和式，再想一想：当 n=8 时，这个求和式里具体每一项分别是多少？

你已经发现这是一个从 8 加到 1 的等差数列，那用加法把它完整写出来，会是“8+7+6+…+1”还是别的什么形式呢？写出这个和式后，你能想到一个不用一项一项相加、而是用一个关于 n 的公式来计算 1+2+…+n 的办法吗？试着先用这个办法算一算当 n=8 时的总子串个数是多少。

你刚才算出了 8+7+…+1=36，这个结果和选项里的 35 差了 1，你觉得多出来的这“1”对应的是哪一个子串？试着想想：我们刚才推出来的是“所有子串”的个数，那在这些子串里，有没有一个比较“特殊”的子串，可能在题目里其实是不算在“真子串”里的？

你刚才已经会用 1+2+…+n 这样的公式来算“所有子串”的个数了，那现在我们退一步想：这个“1+2+…+n”的和，其实就是在给从 1 到 n 这 n 个数“平均分配”一半再乘以 n。你能不能用“最小的数+最大的数”“一共有多少项”这样的思路，把 1+2+…+n 写成一个只含 n 的乘法公式？先不要代入 8，先把关于 n 的通用公式写出来。

你已经成功推导出了长度为 n 的串的所有子串个数公式是 n*(n+1)/2，并且知道真子串要再减去 1，做得很好！现在结合这个公式，你已经可以独立处理类似的“子串/真子串个数”问题了，可以尝试自己出一个长度为 10 的串，算一算它的真子串有多少个来检验一下自己的理解。

我们已经知道长度为 8 的串一共有多少个子串了。现在想一想：在这些子串里，有哪些其实“不算真子串”，需要被排除掉？你可以先说说，哪一类子串你直觉上会怀疑它不属于“真子串”。

很好，你已经意识到“整个原串”要排除。再想一想：除了整串本身，还有没有哪种“子串”，虽然在公式里被算进去了，但其实在实际问题中根本不存在，或者不应该被算作真子串？你可以先试着回顾一下我们是怎样数“所有子串”的，看那个过程里有没有“顺便多算了什么”。

很好，你已经想到要排除“原串”和“空串”。那我们来检查一下：在我们用公式数“所有子串”的时候，这两类有没有都被算进去？你可以回忆一下：当我们数长度为 1、2、3、…、8 的子串时，哪一种对应“原串”，哪一种对应“空串”，有没有哪一类其实根本没有被数到？

你已经发现：用公式算出来的是“所有子串”，其中只多算了一个“整串本身”，而空串根本没被算进去。那现在请你自己总结一下：真子串个数 = “公式算出的子串总数” 减去 几个 不符合“真子串”条件的子串？这里具体要减去哪些子串？用一句话写出来。

你已经非常清楚地说出了：真子串个数 = 用公式算出的所有子串个数 − 1（那个 1 就是整串本身），这一步已经掌握得很好，接下来只要把具体数字代入并算出结果，你就能独立完成整道题了，做得很棒，继续保持这种严谨的思考方式！

你前面已经算出了这个串的真子串个数是 35 个，现在请你先在四个选项里圈出你认为正确的那个，然后想一想：如果有人选了 37 或 9，他们在前面的哪一步推理上最可能出错？比如，是把“真子串”和“子串”混在一起了，还是在计算公式时多算或少算了一部分？你先挑一个错误选项，说说它可能哪里算错了。

你已经很好地猜出了 37 可能是把“空串”也算进去了，那现在再看看另外一个明显不对的选项：9。真子串的个数其实是几十这个量级，有人只算出 9，你觉得他在前面的哪些子串统计步骤里可能漏掉了哪一大类子串？你可以试着想：是不是只算了某种“长度”的子串，或者只看了开头在某几个位置的子串，忽略了什么？

你已经能指出 37 和 9 这两个错误选项各自可能的错误原因了。现在请你把自己的正确结果和四个选项对比一下，大声说出你认为正确的选项是哪个，并用一句话解释：为什么它和你前面推导出来的“真子串总数”是严格对应的，而另外三个选项都和你的推理不一致？

你已经能把自己推导出的结果和选项 C 对应起来，而且还能合理解释 37 和 9 这两个错误选项背后的思路问题，这说明你不仅会算真子串个数，还能从他人的错误中反推推理漏洞，这一点做得很好，继续保持这种先推理再对比选项的习惯，会让你在选择题中更有把握。